在Python中近似数学常数e

Question

我正在尝试通过100,000次迭代来近似常数e，并展示其中当迭代次数i为10,000的倍数时的结果，范围从10,000到100,000。

我目前的代码是这样的：

import math

e = 0
i = 0

while i < 100001:
    e += 1 / (math.factorial(i))
    i += 1
    if i % 10000 == 0:
        print("使用", i, "次迭代的近似值为：", e)

这段代码存在两个问题：

1.) 代码运行时间非常长，但我想这可能是预料之中的。

2.) 不管我使用多少次迭代，得到的e的近似值都是一样的。输出的开始部分如下所示：

使用10000次迭代的近似值为：2.7182818284590455
使用20000次迭代的近似值为：2.7182818284590455
使用30000次迭代的近似值为：2.7182818284590455

...以此类推。我该如何修正这个问题？

作为背景，这是一个初级编程问题，仅涉及循环结构的学习。

编辑：我注意到我在while循环中将i和e的操作顺序颠倒了。虽然已经修正了这个错误，但仍然遇到计算结果不变的问题。

Sampson · Answer

浮点数使用64位进行编码，这意味着你无法通过无限迭代来获得e的更多有效数字。

一个可行的替代方案是使用任意精度算术（如GMP库）。

安装gmpy2：

pip3 install gmpy2

修改你的代码：

import gmpy2

e = gmpy2.mpq(1)  # 使用有理数初始化e，以保持精度
i = 0

while i < 100001:
    i += 1
    e += gmpy2.mpq(1) / gmpy2.mpq(math.factorial(i))  # 使用gmpy2的有理数进行精确除法
    print("使用", i, "次迭代的近似值为：", gmpy2.mpfr(e, precision=50))  # 转换为高精度浮点数并打印，precision设为50位小数

Mark Brackett · Answer

首先，你应该在 i==0 时就开始累积 e 的值——上面的代码片段从 i==1 开始，这跳过了一个完整的单位——这就是为什么你得到的是 1.718... 而不是 2.718...。其次，尽管Python的整数能够具有任意大小（因此，可以在几分之一秒内计算fact(100_000)），但对于十进制数，Python默认会使用64位浮点数——这些数只能保存有限的小数位，而且在fact(25)之后（如果有的话），你无法获得更高的精度。

你可以转而使用Python的 decimal.Decimal 来代替普通的浮点数——这些数具有可配置的精度，至少使用这种方法，你可以计算到几百个小数位，当然，直到运算对CPU或内存消耗过大为止。

from decimal import Decimal, getcontext

getcontext().prec = 200  # 使用200位的精度：

def calc_e(iterations):
    to_e = Decimal(0)
    for i in range(iterations + 1):  # 确保从i=0开始累加
        to_e += Decimal(1) / Decimal(math.factorial(i))  # 使用Decimal进行精确计算

        if i % 10000 == 0:  # 每隔10000次迭代打印一次结果
            print("使用", i + 1, "次迭代的近似值为：", to_e)


calc_e(100000)

请注意，函数显示大量小数并不意味着这些显示的小数与 e 数字中相应位置上的正确小数相匹配。你需要么使用一个参考的 e 值（而不是Python的 math.e 中提供的那个，它也是一个64位浮点数），要么使用另一个公式，来检查你的值到哪一位是正确的。

sberry · Answer

首先，你应该从 e = 1 开始以得到正确的 e 值，你现在的代码实际上计算的是 e - 1。

你的计算量级有误——在修改了初始的 e 值后，你的代码在第17次迭代时就已经达到了浮点数精度所能允许的最精确值，远远没到你尝试的10000次迭代：

使用15次迭代的近似值为：2.71828182845823
使用16次迭代的近似值为：2.718281828458995
使用17次迭代的近似值为：2.718281828459043
使用18次迭代的近似值为：2.7182818284590455
使用19次迭代的近似值为：2.7182818284590455
使用20次迭代的近似值为：2.7182818284590455
...

此后的任何迭代都会停留在同一个数值上，因为 1 / (math.factorial(i)) 的值非常小，以至于将其加到当前 e 的值（2.7182818284590455）上时，结果仍然是同一个浮点数。

如果你想要任意精度的结果，可以使用 decimal 模块：

import math
from decimal import Decimal, getcontext

getcontext().prec = 100

e = Decimal(1)
i = 0

while i < 100:
    i += 1
    e += Decimal(1) / Decimal(math.factorial(i))
    print("使用", i, "次迭代的近似值为：", e)

即便如此，使用100位的精度，你也会在大约第70次迭代时达到收敛。

VolkerK · Answer

你也可以直接使用规模化整数来进行计算，比如将代码中的 1 / 改为 10**80 //。这样操作后，你将得到如下结果：

271828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354729

这个结果在以下位数上是准确的：

27182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535